Als zweite Analyse-Rubette wollen wir die MeloRUBETTE diskutieren. Sie bringt gegenüber der MetroRUBETTE einige theoretische, aber auch praktische Probleme mit betreffend den Rechenaufwand
Wir werden im Anschluss eine Übersicht geben zur PerformanceRUBETTE, damit man auch die Anwendung der anlytischen Rubetten erkennen kann.
Wir werden aber die HarmoRUBETTE nur kurz besprechen können, denn sie sehr kompliziert zu erklären, da man die Riemannsche Funktionstheorie und einige Problemstellungen aus der Harmonielehre genauer diskutieren müsste.
Um die Beschreibungsebene etwas zu vereinfachen, trotzdem aber die wesentlichen Punkte beibehaltend, werden wir hier nur von einer Sorte von Noten sprechen, nämlich Denotatoren der Form
mit der Form E:.Simple(R) für Einsatzzeit und H:.Simple(R) für Tonhöhe.
Ein Motiv ist dann ein Denotator in der Form Loc:.Powerset(EHNote), also eine lokale Komposition M = {N1,N2,...,Nk} von Noten in EHNote. Dabei stellen wir die Bedingung, dass die Projektion
welche jeder Note Ni in einem Motiv M ihre Einsatzzeit E Ni und damit die lokale Komposition
M_E = p_E(M)={E_N1 , E_N2 ,...,E_Nk}
in E zuordnet, eine Bijektion p_E: M --> M_E definiert. Das heisst: Zwei Noten sind verschieden genau dann, wenn ihre Einsatzzeiten verschieden sind, keine Akkorde oder Intervalle simultaner Noten, siehe Bild 97!
Wir betreten hier also musikologisches Neuland, und wir werden uns dazu auch weiter unten in semiotischer Hinsicht äussern.
Bezogen auf diese Strukturen von Motiven soll die MeloRUBETTE Gewichte von Noten in EHNote ermitteln.
Wir wollen gewissermassen so ein Gewicht als Aussage darüber erhalten, was die Relevanz einer Note im motivischen Kontext eines Musikstücks sein kann.
Eine einfachere Frage kann man gleich vorweg lösen: Wenn man weiss, was das Gewicht weight_A(M) von Motiven M in der gegebenen Komposition ist unter einer bestimmten Motivanalyse A, was ist dann ein gutes Mass für das Gewicht einer Note Ni? Man kann das Gewicht einer Note Ni in dieser Komposition definieren als
| weight_A(Ni) = Σ_{Motiv M enthält die Note Ni} weight_A(M) |
also die Summe der Gewichte aller betrachteten Motive zu dieser Kompsition, die Ni als Note enthalten.
Die Kernfrage wäre also: Was also ist das Gewicht eines Motivs?
Dies stellt man im Hauptfenster unten ein. Die Liste aller Motive wird dann aus der gegebenen Komposition, in Bild 98 die Träumerei, erstellt. Die einzelnen Motive können aus dem Browser (Bild 98, Hauptfenster, Mitte) ausgewählt und im kleinen Fenster (Bild 98, Hauptfenster, oben) eingesehen werden.
Als nächstes wählt man ein "Gestaltparadigma" für Motive aus. Damit entscheidet man sich dafür, was für Eigenschaften eines Motivs für den Vergleich von Motiven gleicher Grösse wesentlich sein sollen. Bei der Einstellung "Dia" (=diastematischer Index) betrachtet man nur die Information, ob sukzessive Töne des Motivs steigen, fallen oder gleich hoch bleiben. Damit reduziert sich die Information auf eine Reihe von +1 (Steigen), -1 (Fallen) oder 0 (gleich bleiben). Das Gestaltparadigma "Elastic" behält von einem Motiv die Steigungswinkel der sukzessiven Töne (in der EH-Ebene) sowie das Verhältnis sukzessiver Seitenlängen von Intervallen sukzessiver Töne, siehe Bild 99. Die Einstellung des Gestalttypus geschieht im Hauptfenster unter "Gestalt Paradigm".
Die Software kann jetzt beim Vergleich zweier Motive, die gleich viele Töne haben, entscheiden, ob sie "ähnlich" sind oder nicht: Sie sind "ähnlich", wenn ihr Abstand kleiner ist als die gewählte Zahl "Neighborhood". Um nun weiter das Gewicht eines Motivs zu bestimmen, werden zwei Hilfsgrössen ausgerechnet: die Präsenz und der Inhalt eines Motivs M (siehe wieder Bild 98, rechts oben).
Präsenz: Wir betrachten alle Motive N in unserem Inventar, welche mindestens so viele Töne haben wie das gegebene Motiv M, und die Teilmotive M* enthalten (deren Töne aber nicht notwendig aufeinander-folgend sein müssen in N), die ähnlich sind zu M. Wir zählen die Zahl dieser Situationen und nennen das Resultat Präsenz presence(M) von M. Wir erfahren so, an wievielen Motiven M -- bis auf Æhnlichkeit -- beteiligt ist.
Inhalt: Wir betrachten alle kleineren Motive N in unserem Inventar, die zu einem Teilmotiv M* von M ähnlich sind und zählen diese Fälle. Das wird Inhalt content(M) von M genannt. Wir erfahren so, wieviele Motive sich "unter" M einfinden.
| weight_A(M) = presence(M) x content(M) |
zu definieren, wobei die Analyse A nun alle Parameter, die wir oben betrachtet haben, einschliesst: Gestaltparadigma, Card, Span, Æhnlichkeit. Bild 98 zeigt die Situation für die Träumerei mit den angegebenen (engen!) Grenzen, und man sieht die enorme Rechenleistung für Motivvergleiche, welche schon mit den wenigen (463) Tönen der Träumerei zu erbringen sind. Es sind bei der engen Grenze von Card = 4 (also nur Motivchen von 2, 3 und 4 Tönen!) und Span = 1/2 Takt doch schon 25'745 Motive. Und die Software muss jetzt rund 1 Milliarde Vergleiche bezüglich Æhnlichkeit anstellen.
Bemerkung: Es kann mit der Einstellung "Symmetry Group" auch ein Gestaltvergleich mit der Umkehrung, dem Krebs oder der Krebsumkehrung des Vergleichsmotivs angestellt werden.
Diese Rubette stellt uns vor zwei Probleme:
1. Problem:
Wie kann man eine überbordenede Kombinatorik in den Griff bekommen?
Welche sind die Lösungsmethoden? Dies hier die Workarounds:
Die Lösung muss von Fall zu Fall überlegt und verfolgt werden. Die Wege 2 und 3 sind scheinbar gut, führen aber nicht zu Lösungen, die qualitativ besser sind. Wenn man normale Musikstücke, etwa von der Grösse eines Sonatenhauptsatzes, nimmt, nützen alle diese Methoden nichts. Mehr kann man sich von Statistik versprechen: Man muss Stichproben unter den Motiven machen, um die grossen Zahlen im Rahmen des Möglichen zu halten.
2. Problem:
Wir haben jetzt eine Gewichtsfunktion weight_A : EventSet --> R, die aber auf den Noten des EventSets im zweidimensionalen EH-Raum definiert ist. Wir kann man nun interpolieren, um gleich wie beim metrischen Gewicht eine Gewichtsfunktion auch zwischen den Events zu erhalten. Auch hier ist die Spline-Theorie anzuwenden, und wir haben das auch in den diversen Rubetten so gemacht.
Wir können also davon ausgehen, dass alle Gewichte immer auf natürliche Weise auf alle zwischen den Noten des EventSet liegenden Punkte ausgedehnt worden sind. Hier zwei Beispiele, die wir in der Vorlesung kommentieren.
Bild 100 zeigt die Gewichte der EH-Noten in der Träumerei als grauwertige Kreisscheiben, deren Dunkelheit proportional zum Gewicht ist.
| Achtung: In der Musikwissenschaft wird man Motive als "semantisch geladene" Tongruppen auffassen, es ist also nicht jedes Motiv in unserem Sinne in der Musikwissenschaft ein Motiv. |
Unser Vorgehen war hier, die Semantik, also die Bedeutung, die einem Motiv innewohnt, durch die Gewichtsfunktionen zu konstruieren. Wir vergleichen jedes Motiv mit jeden anderen und erhalten so via Präsenz und Inhalt durch sein Gewicht seine Bedeutung, die es im gegebenen Inventar des ausgewählten Musikstücks hat. Damit wird Retis Forderung nach einer immanenten Konstruktion der Motivik nachgegangen (s. dazu auch Kopfermanns interessanter Kommentar p. 297 zu Reti). Wie weit sie so erfüllt oder angenähert worden ist, muss die weitere Diskussion erweisen.
Die HarmoRUBETTE ist unter den analytischen Rubetten die weitaus komplizierteste und auch vom Rechenaufwand her die komplexeste. Wir geben hier lediglich eine Übersicht.
Wie schon in den vorangehenden Diskussionen der musikwissenschaftlichen Situation ist auch in der Harmonielehre eine theoretische Unsicherheit vorhanden, so etwa in dem bekannten Zitat von Carl Dahlhaus zu Hugo Riemanns Harmonielehre (siehe Referenz in "The Topos of Music", p.819):
| Eine Theorie aber, die gerade dort versagt, wo das Phänommen, das sie erklären soll, ins Vage und Unbestimmte gerät, darf als adäquat gelten. |
Die Idee dieser Rubette ist eine Implementierung der Riemannschen Harmonielehre, und dies mit dem Ziel, für eine gegebene Komposition zu jedem Akkord einen Riemannschen Funktionswert anzugeben, der den Verlauf der Harmonien des Stücks sinnvoll widerspiegelt.
Dabei stösst man auf nicht wenige Probleme:
Wir wollen diese Probleme alle abarbeiten, bis wir die Implementierung der Theorie (d.h. des Torsos einer Theorie) erstellen können.
Problem 6 (Es ist genau besehen nicht einmal klar, was ein Akkord sein soll in einer konkreten Komposition.)
Dies lösen wir dadurch, dass die Software die Komposition zunächst auf eine Mengen von Noten mit E, H,D reduziert und dann gewissen Folge Ch_1,Ch_2,..., Ch_i, Ch_{i+1},...,Ch_N von Denotatoren des Typs
ChordEvent:.Limit(Onset,Chord);
Chord:.Powerset(H);
Onset:.Simple(R);
Wie sie das macht? Es werden zwei Methoden: Erstens einfach die Mengen von Noten gleicher Einsatzzeit gruppieren, zweitens Gruppen erzeugen jedesmal, wenn man Notengruppen hat, die grad anfangen zu dauern, oder wo das Ende der Dauer einiger Noten stattfindet, während noch andere weiterdauern. Das ist zwar relativ grob, aber es zeigt eine erste Auswahl an Varianten, um die Akkordsequenz zu erzeugen. Dies führt zur Akkordliste, die man im Hauptfenster erstellt:
Problem 4 (Es ist nicht klar, wie ein Funktionswert von einer Tonart abhängen soll und wie vieldeutig diese Wertmöglichkeiten sind.)
Wir benutzen die drei Grundwerte der Riemann-Theorie: Tonikal (T), Dominantisch (D) und subdominantisch (S). In C-Dur hat
der Dreiklang c,e,g den Wert T, der Dreiklang g,h,d den Wert D und der Dreiklang f,a,c den Wert S. Wir nehmen davon je zwei Varianten: Dur und Moll, in Kleinbuchstaben für Moll, d.h., T,D,S, t,d,s. Die Semantik lassen wir momentan noch offen. Ferner wollen wir erlauben, dass in jeder Tonart einer der sechs Werte eingenommen werden kann. Wir lassen entsprechend den zwölf chromatischen Gruntönen (mod. Oktave) 12 Tonartsymbole zu C, Cis (=Des), D, Dis, E, F, Fis, G, Gis, A, Ais, H. Das ergibt also 72 mögliche Werte (Funktionswert,Tonart).
Wir erlauben uns aber noch mehr: Da es nicht klar ist von der Musiktheorie her, ob ein Akkord eigentlich mehrere Werte haben kann, und ob er das nur digital entweder hat oder nicht, oder ob verschiedene Werte mehr oder weniger angenommen werden können, haben wir uns für einen fuzzy Ansatz entschlossen: Ein Akkord Ch kann einen der 72 Werte annehmen als nicht-negative reelle Zahl. D.h. wir bekommen 72 Werte F(Ch,Funktionswert,Tonart) in R für den Akkord Ch. Wir erhalten dann entsprechend einer noch zu beschreibenden Methodepro Akkord eine 6 x 12 Matrix mit den 72 Werten von Ch. Diese Werte sind nur ein Potenzial und hängen noch nicht vom Kontext des Musikstücks ab. Bild 101h2 zeigt diese Matrix, die wir Riemann-Matrix nennen, für einen Akkord. Dunkle Rechtecke bedeuten hohe Werte, helle Rechtecke bedeuten niedrige Werte.
Problem 1,2,3
Nun müssen wir implementieren, wie die Werte der Riemann-Matrix zu berechnen ist. Dazu offeriert die HarmoRUBETTE verschiedene Methoden, auch von verschiedenen Autoren verantwortet. Die Methode ist im Hauptfenster unter "Calculation Method" via Pop-Up-Button spezifizierbar. Wir können hier nicht auf die Einzelheiten eingehen. Bild 101h3 zeigt ein Fenster mit Riemann-Preferences nach der Mazzola-Methode, welche die Werteberechnung bedingen, und zwar im oberen Bereich "Function Scale Matrix". Die Idee bei dieser Methode ist es, jedem Ton eine Bewertung für die 72 Werte zuzuordnen und dann Terzketten zu betrachten, davon die Werte zu berechnen und schliesslich Akkorde hinsichtlich der minimalen Terzketten zu bewerten, die sie enthalten. Details finden sich im entsprechenden Abschnitt 41.3 HarmoRUBETTE von "The Topos of Music".
Problem 5 (Es ist bei möglichen Vieldeutigketen nicht klar, welche Werte im Kontext eines Musikstückes zu bevorzugen sind, ja es ist nicht einmal klar, wann man in einer bestimmten Tonart ist.)
Bisher haben wir für jeden Akkord Ch_i unserer Folge Ch_1,Ch_2,..., Ch_i, Ch_{i+1},...,Ch_N eine Riemann-Matrix errechnet. Diese gibt das Potenzial der möglichen Werte an, aber nicht einen sinnvollen Wert. Der letzte Schritt unserer Berechnung wird nun jedem Akkord Ch_i eine Position F(Ch_i) =(Fun_i,Ton_i) zuordnen in der 6 x 12 Matrix, und damit natürlich auch den Wert an jener Stelle. Damit bekommen wir also einen Pfad
F(Ch_1),F(Ch_2),...,F(Ch_i),F(Ch_{i+1},...F(Ch_N)
durch die Riemann-Matrizen, welcher also die harmonische Semantik hier als Syntagma darstellt. Man muss aber dabei bedenken, dass die Vielfalt der a priori möglichen Wege bei beispielsweise 200 Akkorden (sehr wenig!!!) 72^200 = 2.9275160*10^371, also mehr ergibt, also man sich je wird mit einer Maschine berechnen können.
Bevor wir dieses kombinatorische Problem angehen, wollen wir aber die Wege bewerten: Welches sind gute, sinvolle Wege, welche sind harmonisch schlecht? Die Idee ist, dass wir die Übergänge zwischen zwei Positionen in der Riemann-Matrix bewerten wollen. So soll es billig sein, die Tonart zu behalten, aber teuer, sie zu wechseln. Es soll auch billig sein, von der Dominante in einer Tonart zur Tonika zu gehen, während es teuer ist, den umgekehrten Weg zu gehen, etc. Und dies auch in Abhängigkeit von den gegebenen Werten in der Riemann-Matrix. Solche Übergangsgewichte sind in der Riemann preference window in Bild 101h3 unten links angegeben, während dort sogar unten in der Mitte gewisse Positionen der Matrix ganz verboten werden können (weil man etwa "weiss", dass das Stück in einer festen Tonart sein muss). Auch die Präferenzen bezüglich Übergänge von Dominante zu Tonika etc. sind bewertbar, siehe dazu Bild 101h4:
Auf Grund dieser Übergangspräferenzen wird nun grundsätzlich der besten harmonische Weg berechnet. Allerdings müssen wir dabei noch die Kombinatorik in den Griff bekommen, die ja wie oben gezeigt, so nicht beherrschbar ist.
Die Idee ist, dass wir nicht die langen Wege der ganzen Komposition anschauen können, sondern hier eine Auwahl treffen sollten. Wir haben dazu die Frage zu lösen, welcher harmonische Wert (Position in der Riemann-Matrix) für einen Akkord Ch_i zu wählen sei. Es ist plausibel, dass dieser Wert nicht von allen möglichen Akkorden der ganzen Komposition abhängen sollte. Das bedeutet, wir betrachten um einen Akkord herum nur Wege einer gewissen Länge vom Index i-k bis zum Index i+l. Für eine solche Wahl von "kausaler Tiefe k" und "finaler Tiefe l" berechnet man den besten "lokalen Weg" und kriegt daraus die Position für diesen Akkord Ch_i. Es zeigt sich, dass schon Werte von k = l = 3 grosse Rechenzeiten erfordern.
Hier ist ein interessantes Forschungsthema aus dem Bereich Berechnungskomplexität und auch Implementierung schneller Algorithmen oder statistischer Verfahren eröffnet. Das Resultat ist als harmonischer Pfad in Bild 101h5 gezeigt:
Wenn diese Riemann-Werte gerechnet sind für den Pfad, dann werden die Gewichte der Akkorde aus den Gewichten in der Riemann-Matrix und aus den Übergangsgewichten der Präferenzen gerechnet. Um schliesslich die Gewichte der Töne in Akkorden zu bekommen, werden die Rollen der Töne zur Bildung der Riemann-Gewichte betrachtet, d.h., man rechnet die Riemann-Matrizen mit einem Ton und ohne ihn und betrachtet dann den Quotienten der beiden Zahlen, um diese mit dem Akkordgewicht zu multiplizieren.
Wir wollen eine zentrale Anwendung der analytischen Gewichte aus den entsprechenden Rubetten diskutieren: die PerformanceRUBETTE. Damit können aus gegebenen Partituren (die wir als Denotatoren speichern und zur Verfügung haben) Aufführungsinterpretationen, d.h. Performances, gestalten.
Wir werden also nur einen ganz speziellen Aspekt der Performance-Forschung streifen: die Performance, welche durch Informationen analytischer oder "rationaler" Natur gestaltet werden. Neben diesen Begründungen und Motivationen, ein Stück zu performen, gibt es im wesentlichen noch dies (siehe Bild 102):
Es handelt sich jedenfalls darum, einen Denotator bestehend aus Noten und ähnlichem Material auf der mentalen Ebene in einen Denotator bestehend aus Events auf der physikalischen Ebene zu transformieren.
Um die Ideen hier klarer zu machen, wollen wir der Einfachheit halber annehmen, dass wir es nur mit einer lokalen Komposition für Klavier, also einem Denotator
NoteSet:@Loc-Notes({N1,N2,...,Ns})
von Klaviernoten Ni, d.h. Note-Denotatoren, zu tun haben, wobei wir in diesem Kontext die Form
Note:.Product(Einsatzezeit,Tonhöhe,Lautstärke,Dauer);annehmen. Ein solcher Noten-Denotator Ni habe dann die Koordinaten-Werte (Koordinaten-Namen spielen momentan keine Rolle) E, H, L, D, d.h.
Auf der physikalischen Seite haben wir auch eine lokale Komposition der entsprechenden Events EventSet ={n1,...,ns}, ein Denotator
EventSet:@Loc-Events({n1,n2,...,ns})
Event:.Product(einsatz,höhe,laut,dauer);
als physikalisch Koordinaten in Sekunden etc. Wir schreiben ein Event ni entsprechend mit Kleinbuchstaben als ni:@Event(e,h,l,d).
Mit diesen Notationen kann man also die Performance-Transformation als eine Funktion P anschauen
| P: NoteSet --> EventSet |
Dabei müssen wir zunächst beachten, dass man ja nie eine Peformance gleich in einem Schritt endgültig gestaltet! Man übt, und dies ist ein mehrstufiger Verfeinerungsprozess, der in wirklichkeit Jahre dauern kann. Dies führt zum Begriff des Stemmas (siehe Bild 105). Das bedeutet, dass man zunächst mit eine "Prima-Vista-Performance" anfängt, also dem erste Einspielen des Stücks, ohne Raffinesse, sondern gemäss den geschriebenen Anweisungen ganz "wörtlich" wiedergegeben.
Man kann nun die Verfeinerung oder "Verformung" (siehe Bild 107) der von der Mother übernommenen Performance-Transformation P durch den Operator auf drei Arten gestalten:
Die Wirkung des metrischen Gewichts MetroWeight auf die Lautstärke L hatten wir bei der linken Hand in der Träumerei schon gehört.
Als interessante Anwendung kann man auch das metrische Gewicht direkt auf die Tonhöhen wirken lassen und so eine Sonifikation der Analyse erzeugen, also ein Hörbarmachen einer Analyse, wodurch man sehr schnell Strukturen vernimmt, die man nicht sehen würde. Wir hören uns dies im Fall der Kunst der Fuge an.
Dieser Operator wirkt weder auf mentale noch auf physikalische Parameter, sondern ändert die Beziehung zwischen ihnen. Typisch für diese Beziehung ist das Tempo. Es ist definiert als
| T(E) =1/ (de/dE) |
(eigentlich dE/de, aber als Funktion von E). Das ist ja die mathematisch sauber übersetzte Bedeutung von "M.M. = ...Viertelnoten/Minute" (M.M. = Maeltzel Metronom) an einer bestimmten Stelle der Partitur!
Das Tempo sagt also, wie sich die physikalische Einsatzzeit ändert in Relation zur mentalen Einsatzzeit. Der TempoOperator macht nun folgendes: Wir gehen aus von einem Tempo T(E), das von der Mutter der LPS übernommen wird. Am Anfang wird das meist ein konstantes Tempo sein, möglicherweise mit ein paar festgeschriebenen Ritardandi oder Fermaten. Nun aber haben wir ein Gewicht und seine Verzerrung G* auf dem WeightWatcher. Damit wirken wir auf das Mutter-Tempo, indem wir statt T(E) nun
| T_G(E) = G*(E).T(E) |
nehmen. Das zweite Fenster von oben in Bild 110 zeigt die Wirkung eines melodischen Gewichtes auf die physikalischen Einsatzzeiten.
Wir hatten bei unseren Untersuchungen der Literatur zur Agogik (=Feinstruktur des Tempo) beobachtet, dass klassische Anweisungen, wie etwa die von Carl Czerny, nichts bringen.
Als eines der repräsentativen Traktate zur Vortragskunst des Tempos, diskutiert Danuser im NHB, Bd.11 Carl Czernys Vollständige theoretisch-praktische Pianoforte-Schule op. 500 um 1840. Beispiel: Bild 111..
Wir hören uns ein Beispiel der Gestalung des Hauptthemas der Kunst der Fuge an, wo ein melodisches Gewicht auf Agogik, Artikulation und Dynamik angewendet wird (siehe Bild 110 für die einzelnen Phasen).
 ZURÜCK |
WEITER |